Suma mágica

El cuadrado mágico más pequeño

La composición de cuadrados mágicos es un entretenimiento matemático muy antiguo y aún hoy muy extendido. EL problema consiste en buscar una disposición tal de los números sucesivos (empezando por el 1), en las casillas de un cuadrado cuadriculado, que las sumas de los números en todas las filas y columnas y siguiendo las dos diagonales del cuadrado sean iguales.

El cuadrado mágico más pequeño es el de 9 casillas; es fácil convencerse, haciendo la prueba, de que es imposible la existencia de un cuadrado mágico de cuatro casillas. He aquí una muestra de cuadrado mágico de 9 casillas:

Si sumamos en este cuadrado los números 4 + 3 + 8, ó 2 + 7 + 6, ó 3 + 5 + 7, ó 4 + 5 + 6, o cualquier otra fila, columna o diagonal, en todos los casos obtendremos la misma suma, 15. Este resultado puede preverse antes de componer el propio cuadrado, porque las tres filas del cuadrado, la superior, la de en medio y la inferior, deben contener todos sus 9 números, que en conjunto dan la suma:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Por otra parte, esta suma deberá ser igual, evidentemente, al triplo de la suma de una fila. De aquí se deduce que cada fila debe sumar:
45 : 3 = 15.

De un modo semejante se puede determinar a priori la suma de los números de una fila o columna de cualquier cuadrado mágico, cualquiera que sea el número de casillas de que conste. Para esto hay que dividir la suma de todos los números del cuadrado por el número de sus filas.

Fuentes:

-http://www.librosmaravillosos.com/problemasyexperimentos/capitulo22.html